TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema de PITAGORAS. Un matemático Griego llamado Pitágoras descubrió y probó una propiedad interesante de los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de los catetos, los lados que forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Algebraicamente, el teorema se escribe . Este Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura. Esta simple pero poderosa ecuación nos puede ayudar a mejorar nuestro conocimiento de la manipulación de números con exponentes. Y como los triángulos rectángulos son tan comunes, nos ayudará a entender lo útil que es manejar términos con exponenciales. La mejor parte es — ni siquiera tenemos que hablar Griego. El Teorema de Pitágoras Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Esta relación está representada por la fórmula:

El Teorema de Pitágoras es una de las fórmulas matemáticas más útiles porque hay muchas circunstancias en el mundo real donde se puede aplicar. Por ejemplo, los arquitectos e ingenieros usan extensivamente esta fórmula cuando construyen rampas: Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo al porche. El porche está a 3 pies sobre el suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a 12 pies de distancia con respecto al porche. ¿Qué tan larga debe ser la rampa? Para resolver un problema como este, normalmente dibujamos un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del triángulo.

Observando el diagrama, podemos identificar los catetos y la hipotenusa del triángulo en el problema, Sabemos que el triángulo es un triángulo rectángulo porque el suelo y la parte del porche son perpendiculares, — esto significa que podemos usar el Teorema de Pitágoras para resolver este problema. Nos dan las longitudes de los catetos a y b, por lo que podemos usar esa información para encontrar la longitud de c, la hipotenusa. Problema Encontrar c cuando a = 3 y b =12 Teorema de Pitágoras cuando a=3 y b=12 Sustituir a y b por valores conocidos Simplificar Combinar términos semejantes= Calcular la raíz cuadrada en ambos lados Solución 12.37 ≈ c La rampa medirá alrededor de 12.37 pies.

Teorema de THALES.

Teorema de THALES DE MILETO Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplos 1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

14/10 = X/4 X= 14.4/10= 5.6 CM Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales. 3/2= 6/4 12=12 TEOREMA DE THALES EN UN TRIANGULO Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

A/A'= AC/AC'= BC/B'C'

Teorema de semejanza de triángulos.

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS. El teorema de semejanza de triángulos dice en pocas palabras que son triángulos semejantes aquellos que tienen la misma "forma", sólo son diferentes en tamaño: un triángulo es más grande que el otro. El enunciado textual de este teorema dice lo siguiente: "Dos triángulos son semejantes si todos sus lados son respectivamente proporcionales; o bien, son semejantes si tienen todos sus ángulos respectivamente iguales" Para saber si un par de triángulos son semejantes, no es necesario comprobar que sus seis elementos (los 3 lados y los 3 ángulos de cada triángulo) cumplen el teorema. Es suficiente comprobar que 3 de los elementos respectivos de cada triángulo cumplen el teorema, pues si 3 elementos cumplen el teorema, los otros 3 forzosamente también lo cumplen.

Dados los triángulos ABC y A'B'C' determinamos los lados y ángulos homólogos. Lados homólogos: a y a', b y b', c y c' Ángulos homólogos: A Y A B Y B , C Y C Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. ángulos razones La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza. La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza. Criterios de semejanza 1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A=A' B=B' Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Criterios de congruencia de triángulos.

Criterios de congruencia de triángulos Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos. Primer criterio de congruencia: LLL Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales. a ≡ a’ b ≡ b’ c ≡ c’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. b ≡ b’ c ≡ c’ α ≡ α’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado. b ≡ b’ α ≡ α’ β ≡ β’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Cuarto criterio de congruencia: LLA Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes. a ≡ a’ b ≡ b’ β ≡ β’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Relación entre los ángulos interiores y exteriores de un triangulo.

En un triángulo existen dos tipos de ángulos:

ángulos de un triángulo Los ángulos interiores lo forman dos lados. Los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación. Propiedades de los ángulos de triángulo 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. A + B + C = 180º 2. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = B + C 3. Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. α = 180º - A

Teoremas de rectas paralelas y una secante.

Rectas cortadas por una secante Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, para cada intersección, un sistema de dos rectas que se cortan entre si, obteniendo de esta manera varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, correspondientes a cada intersección. Pero también podemos clasificar los ángulos de acuerdo a la posición que ocupan con respecto a los sistemas adyacentes.

Teorema 1.2.1 (Teorema directo) En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que 1. Los ángulos correspondientes son iguales 2 .Los ángulos alternos son iguales 3. Los ángulos colaterales son suplementarios

Debemos sobreentender que al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sí; y de manera análoga para los ángulos complementarios. Teorema 1.2.2 (Teorema inverso) En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya 1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien, 2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien 3. algún par de ángulos colaterales suplementarios, para que esas dos rectas sean paralelas. Por lo tanto, cualquiera de las res alternativas mencionadas en el teorema 1.2.2 (Teorema inverso), implica los incisos 1,2 y 3 del teorema (1.2.1) (teorema directo). Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importante pues se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación. Llamaremos triángulo al espacio limitado por tres rectas que se cortan.

Teoremas de pares de ángulos.

TEOREMAS: Pares de Angulos

1. Ángulo. Es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. El ángulo del dibujo superior tiene dos lados: BC y BA. El origen de las dos semirrectas es el vértice B. Este ángulo se lee ABC, nombrando el vértice en el medio.

2. El ángulo recto En la figura de la izquierda hay dos ángulos: ABC y CBD; la suma de los dos es ABD. Los dos ángulos son agudos. En la figura de la derecha vemos dos rectas CD y EF que se cortan en el punto O. En este caso las dos rectas son perpendiculares y forman cuatro ángulos rectos como el EOD. El ángulo agudo es menor que el recto.

3. Clases de ángulos El ángulo menor que el recto se llama agudo, como el A; el ángulo recto está formado por dos rectas perpendiculares y mide 90 grados, como el B; el obtuso es mayor que el recto, como el C. El ángulo que vale dos rectos se llama ángulo llano, como el D; el que vale más de dos rectos se llama cóncavo, como el E y el ángulo que vale cuatro rectos es un ángulo completo, como el F.